La géométrie Euclidienne définit la distance entre deux points A et B grâce à la formule suivante (qui vient du théorème de Pythagore):
En termes plus concrets, la distance entre deux points devient dans ce cas la somme des distances horizontale et verticale entre A et B. Cette définition est relativement naturelle: il s'agit de la distance qu'aurait à parcourir un taxi qui voudrait se rendre du point A au point B dans une ville ou toutes les rues sont orientées soit horizontalement, soit verticalement. C'est pour cette raison que l'on appelle cette distance la distance taxi ou la distance Manhattan.
Plusieurs figures géométriques, tels les cercles, les
paraboles, les hyperboles, sont définies en termes de distance.
Ainsi, un cercle se définit comme l'ensemble des points dont la
distance au centre est égale au rayon. Bien sûr, en modifiant
la définition de distance, la forme de ces figures changent de façon
importante. L'exemple du cercle en géométrie taxi est sans
doute le plus célèbre.
On obtient un carré! (Bien entendu, ceci ne résoud
pas le célèbre problème de la quadrature
du cercle!) En effet, tous les points de ce carré sont de coordonées
(x,y) telles que |x| + |y| = 1.
De façon plus générale, les côniques (comme
les cercle, hyperboles, paraboles) vont devenir plus "carrées" en
géométrie taxi. Voici deux exemples tirés de la page
web de Julie VanBelkum.
Une autre figure importante dont la définition repose sur la
distance est celle de l'ensemble des points situés à égale
distance de deux points donnés A et B. En géométrie
Euclidienne, cet ensemble est simplement la médiatrice du segment
[AB]. Les choses se compliquent par contre lorsque l'on adopte la distance
taxi. On peut distinguer quatre exemples de base:
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